Strahlungsaustausch zwischen Oberflächen ohne vollständige Sichtfaktormatrix

Oberflächen nehmen Strahlung aus ihrer Umgebung auf, reflektieren einen Teil davon und geben abhängig von ihrer Temperatur selbst Wärmestrahlung ab. In Gebäuden, Fahrzeugen, technischen Anlagen und urbanen Räumen entsteht dadurch ein gekoppelter Energieaustausch zwischen Wänden, Böden, Decken, Fassaden, Bauteilen und weiteren Oberflächen. Dieser Vorgang wird häufig auch als Surface-to-Surface Radiation bezeichnet.

Die Stärke dieses Austauschs hängt von Lage, Orientierung, Entfernung und gegenseitiger Sichtbarkeit der beteiligten Flächen ab. Abschattungen durch andere Bauteile oder Gebäude müssen ebenso berücksichtigt werden wie offene Bereiche zum Himmel oder zur Umgebung.

Strahlungsrechnung als Skalierungsproblem

Die Radiosity-Gleichung beschreibt den Strahlungsaustausch zwischen diffus reflektierenden und emittierenden Oberflächen. Bei einer direkten flächenweisen Diskretisierung können für \(N\) Oberflächenelemente bis zu \(N^2\) geometrische Kopplungen entstehen. Eine explizit gespeicherte View-Factor-Matrix wird daher bei großen und fein aufgelösten Modellen schnell zum begrenzenden Faktor für Speicherbedarf und Rechenzeit.

Eine Million Oberflächenelemente ergeben theoretisch bis zu 10¹² Matrixeinträge. Bereits eine explizite Speicherung mit einfacher Gleitkommagenauigkeit würde dafür etwa vier Terabyte Speicher benötigen.

Eine konsistente Behandlung der Radiosity-Gleichung erfordert die Lösung des geometrischen Sichtbarkeitsproblems. Für jede potenzielle Kopplung muss feststehen, ob sich die Oberflächen gegenseitig sehen oder ob ihre Verbindung durch andere Teile der Geometrie blockiert wird. Das gilt sowohl für eine vollständige View-Factor-Matrix als auch für einen hierarchisch komprimierten Strahlungsoperator. Bei komplexen Geometrien kann die Sichtbarkeitsberechnung selbst einen erheblichen Aufwand verursachen.

Hierarchische Berechnung großer Strahlungsmodelle

Der GWR-Ansatz ermöglicht die Berechnung großer Surface-to-Surface-Strahlungsmodelle, ohne sämtliche Flächenkopplungen in einer vollständigen View-Factor-Matrix zu speichern. Dadurch lassen sich auch fein aufgelöste Geometrien mit komplexen Sichtbeziehungen speicher- und recheneffizient behandeln. Grundlage bilden eine komprimierte Darstellung der Sichtbarkeitsbeziehungen und eine hierarchische Nahfeld-Fernfeld-Zerlegung.

In untersuchten großen Modellen konnte der Speicherbedarf gegenüber einer vollständigen Kopplungsdarstellung um bis zu drei Größenordnungen reduziert werden. Gleichzeitig lässt sich der komprimierte Strahlungsoperator in jedem Iterationsschritt effizient auswerten. Das Verfahren wurde bereits in anspruchsvollen industriellen Simulationsprojekten eingesetzt und ist praktisch erprobt.

Typische Anwendungsgebiete

Das Verfahren eignet sich für thermische Simulationen, in denen viele Oberflächen Strahlungsenergie austauschen und sich teilweise gegenseitig verschatten.

• Gebäudesimulation:
  Wände, Decken, Böden, Fenster und Einrichtungsflächen beeinflussen durch ihren Strahlungsaustausch die thermischen Bedingungen in Innenräumen. Bei Gewächshäusern und großen Glasflächen kommt die direkte solare Einstrahlung bei wechselnden Sonnenständen hinzu.
• Stadtklima:
  Fassaden, Dächer und Straßenflächen nehmen solare Strahlung auf, geben Wärme ab und verschatten sich gegenseitig. Detaillierte Stadtmodelle ermöglichen die Untersuchung lokaler Wärmebelastungen und des thermischen Verhaltens ganzer Quartiere.
• HVAC und thermischer Komfort:
  Neben der Lufttemperatur beeinflussen die Oberflächentemperaturen der Umgebung das thermische Empfinden. Die Strahlungsberechnung ergänzt Strömungs-, Wärmeleitungs- und Komfortmodelle um diesen wesentlichen Anteil.
• Fahrzeugkabinen:
  Solare Einstrahlung, erwärmte Innenraumflächen und die Luftströmung der Klimatisierung wirken gemeinsam auf den thermischen Komfort. Das Verfahren unterstützt transiente Berechnungen für unterschiedliche Sonnenstände und Betriebszustände.
• Technische Wärmesimulation:
  Maschinen, Gehäuse, elektronische Komponenten, Scheinwerfer und andere thermisch belastete Baugruppen tauschen Wärme durch Strahlung, Leitung und Konvektion aus. Gekoppelte Modelle ermöglichen eine gemeinsame Betrachtung dieser Transportmechanismen.

Übertragung auf akustische Radiositymodelle

Die hierarchischen Geometrie- und Sichtbarkeitsverfahren lassen sich auch auf die zeitabhängige akustische Energieausbreitung übertragen. Grundlage ist die Kuttruff-Gleichung als akustische Radiosity-Gleichung.

Dabei werden der Energieaustausch zwischen reflektierenden Oberflächen, Schalllaufzeiten sowie frequenzabhängige Reflexions- und Absorptionseigenschaften berücksichtigt. Mögliche Anwendungen liegen in großen Räumen, komplexen Geometrien und bei der Berechnung von Impulsantworten.

Der praktische Nutzen

• Große Geometriemodelle berechnen: Die hierarchische Darstellung reduziert den Speicherbedarf gegenüber der vollständigen Speicherung aller Flächenkopplungen.
• Vorarbeiten wiederverwenden: Geometrische Strukturen können bei unveränderter Modellgeometrie über viele Zeitschritte, Sonnenstände und Lastfälle erhalten bleiben.
• Auflösung gezielt einsetzen: Nahbereiche und komplexe Sichtverhältnisse werden detailliert behandelt, während geeignete Fernbereiche über Cluster approximiert werden.
• Weitere physikalische Modelle koppeln: Der Strahlungsoperator lässt sich mit Wärmeleitung, CFD, Solarberechnung und thermischen Komfortmodellen verbinden.
• Spektrale Modelle erweitern: Dieselben geometrischen Grundstrukturen können für graue Modelle und mehrere Spektralbereiche genutzt werden.

So funktioniert das Verfahren

Der hierarchische Ansatz nutzt die Struktur der Radiosity-Gleichung aus: Wechselwirkungen zwischen geeigneten, weit voneinander entfernten Oberflächengruppen lassen sich auf Clusterebene zusammenfassen. Das Nahfeld und geometrisch komplexe Sichtbeziehungen werden dagegen in der erforderlichen Auflösung behandelt.

Komprimierte Sichtbarkeiten

Benachbarte Oberflächenelemente haben häufig Sicht auf ähnliche Bereiche des Modells. Ihre Sichtbarkeitsmengen überschneiden sich deshalb stark.

Das Verfahren fasst benachbarte Dreiecke schrittweise zu größeren Oberflächenbereichen zusammen und organisiert sie in einem Hierarchiebaum. Vollständig sichtbare Bereiche speichert es auf der gröbsten passenden Ebene dieses Baums. Ein gemeinsamer Eintrag (Cluster) ersetzt dabei viele einzelne Dreieckseinträge. Spezielle Operationen auf den Sichtbarkeitsmengen führen gemeinsame Anteile zusammen und entfernen redundante Einträge.

So entsteht eine komprimierte Darstellung, deren Größe sich stärker an der geometrischen Komplexität als an der Gesamtzahl möglicher Dreieckspaare orientiert.

Hierarchische Nahfeld-Fernfeld-Zerlegung

Ein Hierarchiebaum gliedert die Oberfläche stufenweise in ineinander geschachtelte Cluster. Für jedes Clusterpaar prüft ein geometrisches Zulässigkeitskriterium, ob Abstand und Ausdehnung eine zusammengefasste Fernfeldkopplung erlauben. Erlaubt das Kriterium keine solche Kopplung, verfeinert das Verfahren die Wechselwirkung bis zur erforderlichen Auflösung.

Der daraus entstehende diskrete Operator speichert das Nahfeld als dünn besetzte Matrix und bildet das Fernfeld hierarchisch ab. Diese Zerlegung reduziert die Zahl der explizit zu behandelnden Wechselwirkungen erheblich und senkt den Speicherbedarf auf einen Wert im Promillebereich der vollständigen Kopplungsdarstellung.

Geometrische Strukturen mehrfach verwenden

Bleibt die Modellgeometrie unverändert, nutzt die Berechnung die aufwendigen Vorarbeiten in allen Zeitschritten und Lastfällen. Dazu gehören:

• der Aufbau der Oberflächenhierarchie
• räumliche Suchstrukturen
• Clusterbeziehungen
• hierarchische Sichtbarkeitsinformationen innerhalb des Modells
• komprimierte geometrische Daten für die Anwendung des Surface-to-Surface-Operators

Davon profitieren besonders transiente Simulationen, Parameterstudien und Variantenrechnungen.

Bewegte Sonne bei unveränderter Modellgeometrie

Auch eine sich bewegende Sonne verhindert diese Wiederverwendung nicht. Die Geometrie des übrigen Modells und ihre Hierarchie bleiben statisch. Für jeden neuen Sonnenstand aktualisiert die Berechnung im Wesentlichen nur die Sicht- und Verschattungsbeziehungen zur solaren Quelle.

Ein gemeinsamer transienter Simulationsworkflow erfasst dadurch direkte Einstrahlung, Verschattung und langwelligen Strahlungsaustausch.

Graues, spektrales und richtungsabhängiges Strahlungsmodell

Für viele Wärmeübertragungsprobleme ist ein graues Strahlungsmodell zweckmäßig. Dabei fasst das Modell die Strahlungseigenschaften über den gesamten betrachteten Wellenlängenbereich zusammen. Der Ansatz unterstützt aber auch mehrere spektrale Bänder, in denen Emissions-, Reflexions- und Absorptionseigenschaften jeweils von der Wellenlänge abhängen können. Die geometrischen Grundstrukturen bleiben dabei erhalten. Damit beschreibt das Modell beispielsweise kurzwellige solare Einstrahlung und langwelligen thermischen Strahlungsaustausch getrennt.

Bei einem richtungsabhängigen Modell hängt die reflektierte Strahlung zusätzlich von Einfalls- und Ausfallsrichtung ab. Eine BRDF (bidirektionale Reflexionsverteilungsfunktion) beschreibt diese Abhängigkeit. Die Berechnung verwendet dabei weiterhin die geometrischen Sichtbarkeits- und Clusterstrukturen und ergänzt den Strahlungsoperator um die Richtungsabhängigkeit.

Die Seite Rendering Equation behandelt diese Richtungsabhängigkeit der Strahldichte und die BRDF innerhalb eines grauen Strahlungsmodells.

Technische Hintergründe

Weiterführende Informationen zu den mathematischen und algorithmischen Grundlagen:

• Radiosity Equation
  Integralgleichung, Strahlungsoperator und iterative Lösung des Surface-to-Surface-Strahlungsaustauschs.
• Visibility und hierarchische Sichtbarkeitsalgorithmen
  Verfahren zur effizienten Bestimmung und komprimierten Speicherung sichtbarer Oberflächenbereiche.
• Massiv parallele Sichtbarkeitsberechnung
  Benchmarks und Implementierungsvarianten für die parallele Sichtbarkeitsberechnung mit OptiX, Embree und MPI.

Hinweis: Dieser Beitrag entstand mit Unterstützung von ChatGPT. Die inhaltliche Prüfung, Auswahl und redaktionelle Bearbeitung liegen beim Autor.

Literatur: