Schlagwort: Fredholmsche Integralgleichungen

Fredholmsche Integralgleichungen sind eine Klasse von Integralgleichungen. Sie finden in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, wie der Potentialtheorie, Quantenmechanik und Signalverarbeitung, Verwendung. Auch unsere Modelle zur Simulation der thermischen Strahlung zwischen Oberflächen sowie für das Solarmodell in der Gebäudesimulation basieren auf einer Fredholmschen Integralgleichung 2. Art, der Radiosity-Gleichung.

Die allgemeine Form der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art ist \[ \phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b k(x,y)\phi(t) dy \], wobei \( \phi(x) \) die gesuchte Funktion, \( f(x) \) eine gegebene Funktion, \( k(x,y) \) der Kern des Integrals und \( \lambda \) ein Parameter ist. Fredholmsche Integralgleichungen sind nach Erik Ivar Fredholm benannt, der ihre Theorie (Fredholmtheorie) im frühen 20. Jahrhundert entwickelte.

Algorithmische Geometrie, Mathematische Modelle

Strahlungsaustausch zwischen Oberflächen ohne vollständige Sichtfaktormatrix

Oberflächen nehmen Strahlung aus ihrer Umgebung auf, reflektieren einen Teil davon und geben abhängig von ihrer Temperatur selbst Wärmestrahlung ab. In Gebäuden, Fahrzeugen, technischen Anlagen und urbanen Räumen entsteht dadurch ein gekoppelter Energieaustausch zwischen Wänden, Böden, Decken, Fassaden, Bauteilen und weiteren Oberflächen. Dieser Vorgang wird häufig auch als Surface-to-Surface Radiation […]

Mathematische Modelle, Numerik

Radiosity equation

\( \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}} \def\out{{\rm out}} \newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle} \) Die Radiosity-Gleichung beschreibt den Strahlungsaustausch zwischen diffusen Oberflächen und ist die Grundlage für Surface-to-Surface-Strahlungsmodelle. Bei großen Modellen wird die numerische Behandlung allerdings schnell anspruchsvoll, da die entstehenden Gleichungssysteme einen hohen Speicher- und Rechenaufwand verursachen. Ein zentraler Grund dafür ist […]

Mathematische Modelle, Numerik

Rendering Equation

\( \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}} \newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle} \) Die Rendering Equation, kurz REQ, beschreibt, ebenso wie ihre kleinere Schwester, die Radiosity Equation, den Energieaustausch zwischen Oberflächen. Die Gleichung lautet \begin{equation} \label{RTE} L(\x,\omega) = L_e(\x,\omega)+\int_{2 \pi} f(\x, \omega, \omega^\prime) \, L( h(\x,\omega^\prime), -\omega^\prime) \,\cos \theta^\prime d{\omega^\prime}. \end{equation} Bezeichnungen (hier klicken […]