Die Kettenlinie ist die Lösung eines statischen Gleichgewichtsproblems für eine hängende Kette unter Eigengewicht. Die zugehörige ODE beschreibt die lokale Gleichgewichtsbedingung. SageMath erlaubt anschließend die numerische Auswertung konkreter Geometrien.
Unsymmetrische numerische Lösung bei einer vorgegebenen Seillänge S_ref=1020 m und einem Höhenversatz der Auflager von b=42 m.
ODE
Aus dem Kräftegleichgewicht folgt eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Lösung
Die Kettenlinie ist die geschlossene Lösung dieser ODE.
Kontrolle
Die numerische Integration dient hier vor allem als didaktische Kontrolle der geschlossenen Lösung.
SageMathCell
Für konkrete Daten wird der Formparameter a numerisch bestimmt und der Vergleich direkt geplottet.
1) Modellannahmen
Wir betrachten eine homogene, flexible und inkompressible Kette mit konstanter Linienlast w pro Bogenlänge. Biegemomente werden vernachlässigt. Die innere Kraft wirkt nur tangential entlang der Kette. Die Kurve sei als y = y(x) beschrieben. Die horizontale Komponente der Zugkraft wird mit H bezeichnet und ist entlang der Kette konstant.
Diese Linienlast ist die Gewichtskraft pro Meter Seillänge: w = μg, mit der Masse pro Meter μ in kg/m und g ≈ 9.81 m/s². Für ein reales Stahlseil hängt μ von Durchmesser und Konstruktion ab. Herstellerangaben für Seile um 16 mm liegen grob bei 0.97 bis 1.05 kg/m für 6×19- beziehungsweise 6×36-Seile. Das entspricht etwa 9.5 bis 10.3 N/m. Im Demo-Modell setze ich daher w = 10 N/m als plausiblen Realwert an.
2) ODE der Kettenlinie
Aus dem lokalen Kräftegleichgewicht eines kleinen Seilstücks folgt, dass die vertikale Kraftkomponente mit der Bogenlänge wächst, während die horizontale Komponente H konstant bleibt. Über den Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Steigung ergibt sich damit die ODE
\[ y”(x) = \frac{1}{a}\sqrt{1+y'(x)^2}. \]
mit dem Formparameter a = H/w. Die genaue Herleitung ist klassischer Stoff der Technischen Mechanik. Wichtiger ist hier die Aussage der Gleichung: Die Krümmung der Kette ist nicht konstant, sondern über die Steigung y'(x) nichtlinear mit der lokalen Geometrie gekoppelt.
3) Geschlossene Lösung
Die Lösung der ODE ist die Kettenlinie
\[ y(x) = a \cosh\!\left(\frac{x-x_0}{a}\right) + y_0. \]
Damit ergibt sich die Kettenlinie als Lösung des statischen Modells. Die Konstanten x_0 und y_0 beschreiben die Lage des Tiefpunkts, während a direkt mit der horizontalen Zugkraft verknüpft ist.
4) Bestimmung von a aus L, b und S_ref
Für eine reale Geometrie ist a in der Regel nicht direkt gegeben. Stattdessen werden Spannweite L, Höhendifferenz b der Auflager und Seillänge S_ref vorgegeben. Dann ist die Kettenlinie eindeutig bestimmt.
Der Formparameter a folgt aus der skalaren nichtlinearen Gleichung
\[ \sqrt{S_{\mathrm{ref}}^2-b^2} = 2a\,\sinh\!\left(\frac{L}{2a}\right). \]
Diese Gleichung ist genau dann lösbar, wenn die Seillänge größer ist als der direkte Abstand der Auflager,
\[ S_{\mathrm{ref}} > \sqrt{L^2+b^2}. \]
Danach folgt die horizontale Lage des Tiefpunkts aus
\[ x_0 = a\,\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{b}{2a\,\sinh(L/(2a))}\right) \]
und aus der Auflagerbedingung ergibt sich dann die Höhe des Tiefpunkts.
5) Numerisches Verfahren
Für die praktische Berechnung ist die numerische Lösung der eigentliche zentrale Schritt. Im vorliegenden Spezialfall ist die exakte Kettenlinie zwar bekannt und dient als Referenz, aber in allgemeineren Situationen gibt es oft keine geschlossene Lösung. Dann muss die Kurve direkt aus dem Anfangswert- oder Randwertproblem numerisch bestimmt werden. Die hier gezeigte Integration ist deshalb nicht nur ein Kontrollbeispiel, sondern das Verfahren, das auch für reale Geometrien und erweiterte Modelle gebraucht wird.
Man schreibt die DGL zweiter Ordnung als System erster Ordnung:
\[ y’ = v,\qquad v’ = \frac{1}{a}\sqrt{1+v^2},\qquad y(0)=0,\quad v(0)=0. \]
Das numerische Ergebnis y_num(x) wird dann direkt mit der exakten Kettenlinie y_exakt(x)=a(cosh(x/a)-1) verglichen. Hier steht die numerische Lösung im Vordergrund. Die analytische Kettenlinie dient im Spezialfall als Kontrolle. Zugleich sieht man, dass die Kräfte stark anwachsen, sobald sich S_ref der geometrischen Mindestlänge nähert.
6) SageMathCell für Berechnung und Plot
Die folgende Zelle enthält den SageMath-Code direkt im Standardformat von SageCell. Das Skript arbeitet mit zwei Slidern: einer für die Höhendifferenz b der Auflager und einer für die vorgegebene Seillänge S_ref. Für jedes Wertepaar werden der Formparameter a, die horizontale Zugkraft H und die Lage des Tiefpunkts numerisch bestimmt. Zum Vergleich mit der analytischen Lösung ist die exakte Kettenlinie im Code ebenfalls enthalten. Die vertikale Lage ist so normiert, dass der linke Auflagepunkt bei y=0 liegt. Dadurch ist der ausgegebene Durchhang direkt ablesbar und nicht durch einen künstlichen Höhenoffset verfälscht.
Das Skript macht damit zwei Dinge gleichzeitig: Es bestimmt aus den Randdaten zuerst den Formparameter a und verwendet diesen danach für die numerische Lösung. Die analytische Kettenlinie dient im Spezialfall als Kontrolle. Zugleich sieht man, dass die Kräfte stark anwachsen, sobald sich S_ref der geometrischen Mindestlänge nähert.
Der numerische Fehler ist in diesen Beispielen sehr klein, typischerweise nahe der Maschinenpräzision. Die Ausgabe von max_error reicht daher für die interaktive Ansicht aus. Der statische Beispielplot darunter zeigt die Fehlergröße zusätzlich auf logarithmischer Skala.
Statisches Beispiel für den numerischen Kontrollfehler bei S_ref=1020 m und b=0. Die logarithmische y-Achse zeigt, dass der Fehler im Bereich von etwa 10^-12 m liegt.
Zur Ausgabe: A und B sind die Auflagerhöhen im gewählten Koordinatensystem, b ist ihre Höhendifferenz, H die horizontale Seilkraft, |F_A| und |F_B| sind die resultierenden Auflagerkräfte, x_0 ist die horizontale Lage des Tiefpunkts und y_min dessen Höhe. Die Kraftangaben werden in kN ausgegeben, weil Newton bei dieser Spannweite unnötig kleinteilig sind.
Die geometrische Untergrenze ist nicht pauschal 1000 m, sondern S_min = sqrt(L^2 + b^2). Für L=1000 m gilt also nur im symmetrischen Fall b=0 die Grenze S_min=1000 m. Außerdem wird das obere Intervallende vor dem Aufruf von find_root automatisch vergrößert, bis ein Vorzeichenwechsel vorliegt.
7) Größenordnung und Grenzen
Als Beispiel wird eine unsymmetrische Geometrie mit 1000 m Spannweite, 1020 m Seillänge und 42 m Höhendifferenz der Auflager verwendet. Das ist eine sinnvolle Größenordnung für die numerische Auswertung, auch wenn damit die reale Seilgeometrie noch nicht vollständig festgelegt ist.
Die dargestellte Kettenlinie ist ein reduziertes statisches Modell. Sie ist sehr nützlich, um Geometrie, Zugkraftniveau und qualitative Abhängigkeiten zu verstehen, bildet aber reale Seile oder Ziplines nicht vollständig ab. Ebenfalls nicht berücksichtigt sind Temperaturdehnung, Eis- oder Windauflast, Biegesteifigkeit, Reibung in Rollen oder Auflagern sowie dreidimensionale Effekte. Für Freileitungen, Ziplines oder Mooring-Systeme ist das nur ein erster Schritt. Belastbare Auslegungen brauchen meist ein erweitertes nichtlineares Modell.
Keine Dehnung
Das Seil wird als inextensibel modelliert. Elastische Dehnung unter Last ist nicht enthalten.
Nur Eigengewicht
Berücksichtigt ist nur die gleichmäßig verteilte Linienlast des Seils oder der Kette selbst.
Keine Punktlasten
Hängende Massen wie Gondeln, Personen, Laufkatzen oder Zusatzgewichte sind nicht modelliert.
Keine Dynamik
Schwingungen, Anfahren, Bremsen, Wind und zeitabhängige Lasten sind nicht enthalten.
Derselbe Problemtyp taucht in Freileitungen, Spannfeldern, Mooring-Elementen, Ankerketten und allgemein in vereinfachten Modellen flexibler Zugglieder auf. Dadurch ist das Thema sowohl mathematisch sauber als auch technisch anschlussfähig. Eine gut lesbare, frei zugängliche Darstellung der Herleitung findet sich bei Jeremy Tatum: Physics LibreTexts: The Catenary.