Autor: liebau

Programmierung, SageMath

Modulares Potenzieren

\(\newcommand{\Mod}[1]{\ \mathrm{mod}\ #1}\) Für einen Primzahltest, basierend auf dem kleinen Fermatschen Satz, wird die Auswertung von $$ a^{p-1} \Mod{p}, \qquad 0 < a < p , \quad a,p \in \mathbb{N} $$ für große Zahlen $a$ und $p$ benötigt. Diese Operation nennt man diskrete Exponentialfunktion oder modulare Exponentiation. Die naive Berechnung, […]

Programmierung, SageMath

SageMath

SageMathCell SageMath ist ein quelloffenes und kostenloses Computeralgebrasystem (CAS). Es erlaubt das Umstellen, Faktorisieren, Vereinfachen, Differenzieren und Integrieren von Termen (symbolischen Ausdrücken) – und bietet darüber hinaus viele weitere Möglichkeiten. Mit SageMathCell lassen sich solche Berechnungen sogar direkt online in einer Web-Oberfläche durchführen, wobei eine Python-ähnliche Skriptsprache zum Einsatz kommt. […]

Mathematische Modelle, SageMath

Hemisphärische Kugelflächenfunktionen

Kugelflächenfunktionen sind mathematische Funktionen, die auf der Oberfläche einer Kugel definiert sind. Als Eigenfunktionen des Laplace-Operators spielen sie eine wichtige Rolle bei der Lösung partieller Differentialgleichungen und werden daher oft als Ansatzfunktionen verwendet. Mithilfe von Kugelflächenfunktionen lässt sich die räumliche Verteilung von Strahlung, Schall oder elektrischen Feldern in einer kugelförmigen […]

Algorithmische Geometrie

Visibility

Simulationen nutzen eine geometrische Diskretisierung des realen oder virtuellen Modells, die sogenannte Triangulierung. So sind z.B. in der Automobilindustrie Fahrzeugoberflächen mit mehreren Millionen Dreiecken üblich. Soll die Wärmestrahlung zwischen den Oberflächen in der Simulation eine Rolle spielen, siehe hier, dann ist für jedes dieser Dreiecke zu entscheiden welche anderen Dreiecke […]

Mathematische Modelle, Numerik

Rendering Equation

\( \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}} \newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle} \) Die Rendering Equation, kurz REQ, beschreibt, ebenso wie ihre kleinere Schwester, die Radiosity Equation, den Energieaustausch zwischen Oberflächen. Die Gleichung lautet \begin{equation} \label{RTE} L(\x,\omega) = L_e(\x,\omega)+\int_{2 \pi} f(\x, \omega, \omega^\prime) \, L( h(\x,\omega^\prime), -\omega^\prime) \,\cos \theta^\prime d{\omega^\prime}. \end{equation} Bezeichnungen (hier klicken […]

Numerik

Mehrgitterverfahren

\( \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}} \newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle} \) Mehrgitterverfahren sind in der Lage große Gleichungssysteme mit mehreren Millionen Unbekannten, die sich aus der Diskretisierung von physikalischen Simulationsmodellen ergeben und bestimmte Anforderungen erfüllen, schnell zu lösen. Im Gegensatz zu klassischen Iterationsverfahren, deren Konvergenzrate mit zunehmender Feinheit des Gitters abnimmt, behalten […]

Mathematische Modelle, Numerik, SageMath

Parameteridentifikation

Parameteridentifikation: ein klassisches Inverses Problem Parameteridentifikation ist ein zentrales Thema in der Inversen Theorie. Dabei geht es um die Bestimmung einer unbekannten Funktion. Im Folgenden wird ein typisches Szenario behandelt: die Bestimmung einer unbekannten Parameterfunktion \( \lambda \) aus gegebenen Daten \( y \), die über einen Integraloperator \( \mathcal{A} […]