Mathematische Modelle

Rendering equation





Die rendering equation, kurz REQ, beschreibt die Strahlungsdichte, die den Punkt ${\bf x}$ einer opaken Oberfläche in Richtung $\, \omega=(\theta,\phi)$ verlässt, in der Form
\begin{equation} \label{RTE}
L({\bf x},\omega) = L_e({\bf x},\omega) +
\int_{2 \pi} f({\bf x}, \omega, \omega^\prime) \, L( h({\bf x},\omega^\prime), -\omega^\prime) \,
\cos \theta^\prime d{\omega^\prime} .
\end{equation}
An dieser Stelle wird die Abhängigkeit bzgl. der Wellenlänge nicht berücksichtigt, d.h. es handelt sich hier um das „graue“ Modell. Das spektrale Modell ist Gegenstand eines weiteren Projektes.
$$
\newcommand{\x}{{\bf x}}
\newcommand{\y}{{\bf y}}
\newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle}
$$
Dabei bezeichnen

  • $L({\bf x},\omega)$ die Strahlungsdichte, die die Oberfläche im Punkt ${\bf x}$ in Richtung $\omega$ verläßt,
  • $\theta$ den Winkel zwischen der Oberflächennormale im Punkt ${\bf x}$ und der Richtung $\omega$ (Polarwinkel),
  • $ f({\bf x}, \omega, \omega^\prime)$ eine Bidirectional Reflectance Distribution Function, kurz BRDF, mit der sich Oberflächeneigenschaften beschreiben lassen,
  • $L_e$ die in Richtung $\omega$ emittierte Strahldichte und $h({\bf x},\omega^\prime)$ eine Funktion, die denjenigen Punkt der Oberfläche bestimmt, der in Richtung $\omega^\prime$ einen minimalen Abstand zu ${\bf x}$ hat.

Es gibt eine zweite Version von \eqref{RTE}, in der statt über den Raumwinkel $\omega’$ über die Umhüllung $\Gamma$ integriert wird (Gleichung 7-18b in Siegel1). Mit $\y=h(\x,\omega‘)$ schreibt sich \eqref{RTE} als
\begin{equation} \label{RTEb}
L(\x,\omega ) = L_e(\x,\omega)
+ \int_{\Gamma} f( \x, \omega, \omega‘) \,
L( \y, \omega‘) \, vis(\x,\y)
\frac{\cos (\theta_\x) \, \cos (\theta_\y)}{ \| \x- \y\|^2} d{\y} .
\end{equation}
Dabei ist $\omega’$ die Richtung in der $\x$ von $\y$ aus gesehen wird. Sie hängt also von $\x$ und dem Integrationspunkt $\y$ ab.
Hier kommt nun der geometrische Faktor

$$
G(\x,\y) = \frac{\cos \theta_\x \, \cos \theta_\y}{\| \x -\y\|^2} = \frac{ \Spro{n_x}{\y-\x} \Spro{n_\y}{\x-\y} }{\| \x -\y\|^4}
$$
und die Sichtbarkeitsfunktion $vis(\x,\y)$ ins Spiel.

Sichtbarkeit

Seien $\x$ und $\y$ Punkte einer Umhüllung $\Gamma=\partial\Omega$. Falls keiner der Punkte $s$ der Geraden
$$
s = t\, \x + (1-t) \, \y , \qquad t \in (0,1) ,
$$
auf $\Gamma$ liegt, dann „sieht“ $\x$ den Punkt $\y$ (und umgekehrt).
$$
vis(\x,\y) := \begin{cases}
1 & \text{falls } t\, \x + (1-t) \, \y \not\in \Gamma, \quad \forall \, t \in (0,1), \\
0 & \mbox{ sonst}
\end{cases}
$$
Diese Definition der Sichtbarkeitsfunktion $vis$ bedeutet, daß für zwei Punkt, die sich sehen, alle inneren Punkte der entsprechenden Geraden im Gebiet $\Omega$ liegen. Man kann auch sagen, daß die Gerade den Rand $\Gamma$ nur in den Eckpunkten berührt. Auch wenn die Definition von $vis$ relativ harmlos aussieht, ist doch die Berechnung der Sichtbarkeiten ein sehr rechenintensiver Schritt. Mehr dazu unter Visibility.

Ansatz

In der numerischen Lösung wird die Richtungsabhängigkeit der Austrahlung mittels eines Ansatzes über hemisphärische Kugelflächenfunktionen $H_l^m(\theta, \phi)$ berücksichtigt (Literatur: Gautron 3, Ramamoorthi 2). Für jeden Punkt $\x$ der Oberfläche sei für die Strahldichte

\begin{equation} \label{render:Ansatz:HSH}
L_s(\x,\omega) = \sum_{l=0}^n \sum_{m=-l}^l a_{l m}(\x) \, H_l^m(\omega)
\end{equation}
gewählt.

1.
Siegel R. Thermal Radiation Heat Transfer, Fourth Edition. CRC Press; 2001.
2.
Ramamoorthi R, Hanrahan P. A signal-processing framework for inverse rendering. In: Proceedings of the 28th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques – SIGGRAPH ’01. ACM Press; 2001. doi:10.1145/383259.383271
3.
Gautron P, Krivanek J, Pattanaik S, Bouatouch K. A Novel Hemispherical Basis for Accurate and Efficient Rendering. 2004. doi:10.2312/egwr/egsr04/321-330 [Source]