Mathematische Modelle

Radiosity equation





$$
\newcommand{\x}{{\bf x}}
\newcommand{\y}{{\bf y}}
\newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle}
$$
Die Gleichung
\begin{equation} \label{IGLqout2}
q_{\rm out} ({\bf x}) = \epsilon \, \sigma \, T^4({\bf x}) + \rho \, \int_\Gamma k({\bf x},{\bf y}) \, q_{\rm out} ({\bf y}) \, d{\bf y} , \quad \forall {\bf x} \in \Gamma ,
\end{equation}
ist die radiosity-equation. Sie ist das mathematische Modell für den Strahlungsaustausch zwischen diffusen grauen Oberflächen.

Mit der Definition eines Integraloperators $\mathcal{K}$ schreibt sich \eqref{IGLqout2} kompakter:
$$
( I – \rho \, {\mathcal K} ) \, q_{\rm out} (\x) = \epsilon \, \sigma \, T^4(\x) , \quad \forall \x \in \Gamma .
$$
Dabei sind

  • $\Gamma$ eine Oberfläche in $\mathbb{R}^3$
  • $T(\x)$ die Temperatur im Oberflächenpunkt $\x$,
  • $\epsilon$ der Emissionsgrad, $\rho=1-\epsilon$ der Reflexionsgrad und $\sigma$ die Stefan-Boltzmann Konstante,
  • $ $
    \begin{equation} \label{kern3D}
    k(\x,\y) := \frac{\cos \phi_\x \, \cos \phi_\y }{\pi \; \|\x-\y\|^2} \, \chi(\x,\y), \qquad \x,\y \in \Gamma,
    \end{equation}
    der Kern des Integraloperators $\mathcal{K}$
    \begin{equation} \label{Kdef}
    ({\mathcal K} \, q )(\x) := \int_\Gamma k(\x,\y) \, q (\y) \; d\y, \quad \x \in \Gamma,
    \end{equation}
  • $q_{\rm out}$ die Helligkeit eines Paneels,
  • $ \chi(\x,\y)$ die visibility-Funktion
    $$
    \chi(\x,\y): \Gamma \times \Gamma \rightarrow \{0,1\}, \quad
    \chi(\x,\y)= \left\{ \begin{array}{lcl}
    1 & \quad & \mu \x + (1-\mu) \y \in \Omega,
    \quad \mu \in (0,1) \\
    0 & \quad & \mbox{ sonst}
    \end{array} \right. .
    % \end{equation}
    $$
    Die visibility-Funktion $\chi$ hat genau dann den Wert $1$, wenn der Punkt $\x$ den Punkt $\y$
    „sieht“, es also in gerader Linie kein Hindernis zwischen den beiden Punkten gibt.


Ausgehend von den Temperaturen auf den beteiligten Oberflächen wird die entsprechende Helligkeit, d.h. die Ausstrahlung oder radiance, durch $\eqref{IGLqout2}$ festgelegt. Die Definition der visibility-Funktion sieht zwar harmlos aus, aber ihre Berechnung entwickelt sich zu einem ernsthaften Problem bzgl.~des (Rechen-) Zeitaufwands, siehe Visibility

Bestrahlungsstärke (Irradiance)

Die im Punkt $\x$ eingestrahlte Energiestromdichte $q_{\rm in}$ ist die Summe aller $q_{\rm out} (\y)$, die auf $\x$ „fallen“. Mit einer geometrischen Betrachtung über den Raumwinkel findet sich ein analytischer Ausdruck mit dem die eingestrahlte Energie (-stromdichte) in Abhängigkeit von $q_{\rm out}$ angegeben werden kann (Siegel\cite{Siegel}):
\begin{equation} \label{IGL1}
q_{\rm in} (\x) = \int_\Gamma k(\x,\y) \, q_{\rm out}(\y) \; d\y = \mathcal{K} q_{\rm out}(\x), \quad \forall \x \in \Gamma .
\end{equation}
Die Einstrahlung in einem Punkt $\x$ der Oberfläche ergibt sich durch Anwendung des Integraloperators $\mathcal{K}$ auf die Lösung der Gleichung $\eqref{IGLqout2}$.

Bemerkung 1

Sei $\x \in \Gamma$. Für die (Netto-) Wärmebilanz
\begin{equation}
q(\x) = q_{\rm out}(\x) – q_{\rm in}(\x), \quad \x \in \Gamma
\end{equation}
gelten die Gleichungen
\begin{align}
q(\x) & = \epsilon \, \sigma \, T^4(\x) – \epsilon \, q_{\rm in} (\x), \label{Q1} \\
q(\x) & = \frac{ \epsilon}{1-\epsilon} \left( \sigma T^4(\x) – q_{\rm out}(\x)\right), \quad \epsilon \not=1,
\end{align}
und
\begin{equation}
q(\x) = q_{\rm out}(\x) – \int_A k(\x,\y) q_{\rm out}(\y) \; d\y
= \left( ({\mathcal I} -{\mathcal K})q_{\rm out} \right) (\x). \label{Q2}
\end{equation}
Bei bekannter Energiestromdichte $q$ berechnet sich der (Netto-) Wärmestrom auf einer (Teil-) Oberfläche $S \subset \Gamma$ zu
$$
\dot{Q} = \Phi = \int_S q(s) \, ds .
$$

Bemerkung 2

Für eine schwarze Oberfläche gilt

  • Die Ausstrahlung ist gleich der Emission, da keine einfallende Strahlung reflektiert wird
    \begin{equation} \label{qoutblackbody}
    q_{out} = \sigma \, T^4 \quad \left[\frac{W}{m^2}\right].
    \end{equation}
  • Die einfallende Strahlung wird vollständig absorbiert, d.h. die Nettowärmestromdichte ist
    $$
    q_{netto} = \sigma \, T^4 – q_{in} .
    $$
    Sind alle beteiligten Oberflächen schwarze Strahler, dann gilt
    \begin{equation} \label{qnettoblackbody}
    q_{netto}(\x) = \sigma \, T^4(\x) – \int_\Gamma k(\x,\y) \sigma \, T^4(\y) d\y
    \end{equation}
  • (die Gleichung folgt aus $\eqref{IGL1}$ und $\eqref{qoutblackbody}$) .